Александр Квиташвили родился 15.11.1970 г. в Тбилиси. В 1992 г. он выпустился с исторического факультета Тбилисского государственного университета. Дальнейшее свое обучение он продолжил в Нью-Йорке, где, окончив в 1993 г. Школу государственной службы имени Роберта Вагнера, получил степень магистра. В настоящее время занимает должность министра здравоохранения Украины.
Владеет английским, русским и грузинским языками.
В партиях не состоит.
Супругу зовут Николь, и она является внучкой председателя правительства Грузинской Демократической Республики Ноя Жордании.
Отец и мать министра работают в сфере здравоохранения. В 2010 г. отец являлся директором Национального центра терапии, а мать - директором и главным врачом Центра неотложной кардиологии имени Чапидзе.
Карьеру свою он строил постепенно. Сначала в 1993 г. он трудился в Медицинском центре Атланты. В этом же году получил должность офицера администрации и финансов в представительстве Грузии по программе развития ООН.
Начиная с 1995 г. он два года работал заместителем начальника грузинской миссии Комитета помощи объединенной методистской церкви, и исполнял обязанности руководителя миссии. С 1997 г. занял должность президента неправительственной организации «Международный фонд «Курацио».
С 1995 по 2002 гг. он оказывал консультационные услуги в организациях международного характера в Азербайджане, Украине, Литве, Армении и Сербии. В это же время им издаются несколько аналитических работ, в которых описывается реформа в сфере здравоохранения и анализируется система социальной защиты.
В течение года, начиная с 2002 г., он был консультантом в Институте трансатлантического партнерства против СПИДа и в Институте Запада и Востока в г. Нью-Йорке. С 2004 по 2005 гг. работал управляющим в администрации Института Запада и Востока «EastWest Institute».
В правительстве Гилаури с 31.01.2008 г. по 31.01.2010 г. занимал должность грузинского министра труда, здоровья и социальной защиты.
В течение трех лет с 2010 г. Александр являлся ректором Государственного университета им. Иване Джавахишвили в г. Тбилиси.
С сентября 2013 г. стал главой избирательного штаба кандидата в президенты Давида Бакрадзе, выдвинутого пропрезидентской партией «Единое национальное движение».
Президент Украины Петр Порошенко своим указом от 2.12.2014 г. предоставил Александру Квиташвили гражданство Украины, одновременно с Натальей Яресько и Айварасом Абромавичусом, также вошедшим в правительство. В тот же день Александр Квиташвили стал новым министром здравоохранения Украины правительства Арсения Яценюка.
Александр придерживается мнения о необходимости системы страховой медицины. По его мнению, людям нужно объяснить, что потраченные на страховку деньги сторицей возвратятся им при необходимости проведения дорогостоящей операции. При этом допускается применение агрессивной политики. В 2008 г. он предлагал победить постсоветский менталитет, не дающий людям понять, что качественное обслуживание в учреждениях здравоохранения будет дорогим.